知识框架•

  • 绪论
    • 数据结构（三要素）
      • 逻辑结构
        • 线性结构：线性表、栈、队列
        • 非线性结构：树、图、集合
      • 存储结构（物理结构）
      • 数据的运算
    • 五个特征
      • 算法的定义
      • 五个特征：有穷性、确定性、可行性、输入、输出
      • 效率的度量
        • 时间复杂度
        • 空间复杂度

数据结构的基本概念•

基本概念和术语•

1. 数据•

  • 数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符以及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合

2. 数据元素•

  • 是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理

  • 一个数据元素可有若干个数据项组成

  • 数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位

3. 数据对象•

  • 具有相同性质的数据元素的集合，是数据的子集

4. 数据类型•

  • 是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称

    • 原子类型：其值不可再分的数据类型
    • 结构类型：其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型
    • 抽象数据类型：抽象数据组织和与之相关的操作

5. 抽象数据类型（ADT）•

  • 指一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作

  • 不论其内部结构如何变化，只要它的数学特性不变，都不影响其外部的使用

  • 通常用（数据对象、数据关系、本操作集）三元组表示抽象类型

6. 数据结构•

  • 任何问题中，数据元素不孤立存在，元素相互之间的关系为结构

  • 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

  • 包含三方面内容：逻辑结构、存储结构、数据的运算

  • 算法的设计——逻辑结构

  • 算法的实现——存储结构

数据结构的三要素•

1. 数据的逻辑结构•

  • 指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据

  • 与数据的存储无关，是独立于计算机的

  • 逻辑结构分为线性结构和非线性结构

  • 线性表——典型的线性结构

  • 集合、树、图——典型的非线性结构

数据的逻辑结构分类•

  • 数据的逻辑结构

    • 线性结构
      • 一般线性表
      • 受限线性表
        • 栈和队列
        • 串
      • 线性表推广
        • 数组
        • 广义表
    • 非线性结构
      • 集合
      • 树形结构
        • 一般树
        • 二叉树
      • 图形结构
        • 有向图
        • 无向图

  • 集合：结构中的数据元素之间除了“同属于一个集合”的关系外，无其他关系

  • 线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系

  • 树形结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系

  • 图状结构或网状结构：结构中的数据元素之间存在多对多的关系

2. 数据的存储结构•

  • 指数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构

  • 包括数据元素的表示和关系的表示

  • 数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，依赖于计算机语言

数据的4种存储结构•

  • 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元里，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。（将数据存储在地址连续的存储单元里）

    • 优点：实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间
    • 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元，可能产生过多的外部碎片

  • 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储地址的指针表示元素之间的逻辑关系（将数据存储在任意的存储单元里，通过保存地址的方式找到相关的数据元素）

    • 优点：不会出现碎片现象，充分利用所有存储单元
    • 缺点：每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，并且只能实现顺序存取

  • 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每一项称为索引项，索引项的一般形式是：（关键字， 地址）

    • 优点：检索速度快
    • 缺点：增加附加索引表，占用较多的存储空间。增加和删除数据时要修改索引表

  • 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称为Hash存储。

    • 优点：检索、增加和删除结点的操作都很快
    • 缺点：如果散列函数不好可能出现元素存储单元的冲突，解决冲突会增加时间和空间开销

3. 数据的运算•

  • 施加在数据上的运算包括运算的定义和实现

  • 运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能

  • 运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤

算法和算法评价•

算法的基本概念•

  • 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作

    • 有穷性：一个算法必须总是（对任何合法的输入值）在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成
    • 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义（相同的输入只能得出相同的输出）
    • 可行性：一个算法是可行的，算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现
    • 输入：一个算法有零个或多个的输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合
    • 输出：一个算法有一个或多个的输出，这些输出是同输入有着某种特定关系的量

  • 设计一个“好”的算法应该考虑达到的目标

    • 正确性：正确的解决求解问题
    • 可读性：具有良好的可读性
    • 健壮性：输入非法数据，做出适当的反应，不会产生莫名其妙的输出结构
    • 效率与低存储需求：效率指算法执行时间，存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间

算法效率的度量•

  • 通过时间复杂度和空间复杂度来描述的

1. 时间复杂度•

  • 一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数

  • 算法中所有的语句的频度之和记作T(n)，它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的量级

  • 算法中的基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，采用算法中基本运算的频度f(n)来分析算法的时间复杂度

  • 算法的时间复杂度记为：T(n)=O(f(n))

  • O含义是T(n)的数量级

  • 严格的数学意义：若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则存在正常数C和n0，使得当n>=n0时，都满足0<=T(n)<=C*f(n)

  • 算法的时间复杂度不仅依赖于问题的规模n，也取决于待输入数据的性质（如输入数据元素的初始状态）

  • 最坏时间复杂度：在最坏情况下，算法的时间复杂度

  • 平均时间复杂度：所有可能输入的实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间

  • 最好时间复杂度：在最好的情况下，算法的时间复杂度

分析程序时间复杂性的规则•

  • 加法规则：T(n) = T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))

  • 乘法规则：T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))

  • 常见的渐进时间复杂度为：O(1) < O(nlog(2, n)) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

注：log(2, n)以2为底

2. 空间复杂度•

  • 算法的空间复杂度S(n)，定义为该算法所耗费的存储空间

  • 是问题规模n的函数，记 S(n) = O(g(n))

  • 算法原地工作指算法所需辅助空间是常量，即O(1)